Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность


Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность
Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность
Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность
Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность

Предлагаю вниманию читателя решение нескольких простейших задач теории вероятностей.

Задача 1.

В урне находятся 40 шаров. Вероятность того, что 2 извлечённых шара окажутся белыми, равна \frac{7}{60}. Сколько в урне белых шаров?

РЕШЕНИЕ:

Число способов, которыми можно выбрать k предметов из n равна C_n^k, где

(1)   \begin{equation} C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \end{equation}

Пусть в урне находится x белых шаров. Следовательно, применяя формулу (1), мы можем сказать, что число B благоприятствующих исходов эксперимента, состоящих в том, что два извлечённых из урны шара являются белыми, равно:

    \[B=\frac{x!}{2!(x-2)!}=\frac{1\cdot 2\cdot\ldots\cdot (x-2)\cdot (x-1) \cdot x}{2\cdot(1\cdot 2\cdot\ldots\cdot (x-2))}=\frac{(x-1)\cdot x}{2}.\]

Применяя формулу (1), мы также можем посчитать число S всех возможных исходов эксперимента по извлечению двух шаров (не обязательно белых) из урны с 40 шарами:

    \[S=\frac{40!}{2!(40-2)!}=\frac{1\cdot 2\cdot\ldots\cdot 38\cdot 39 \cdot 40}{2\cdot(1\cdot 2\cdot\ldots\cdot 38)}=\frac{39\cdot 40}{2}=39\cdot 20=780.\]

Таким образом, вероятность P того, что 2 извлечённых из урны шара окажутся белыми, равная по условию задачи \frac{7}{60}, также может быть вычислена по формуле:

(2)   \begin{equation} P=\frac{B}{S}=\frac{(x-1)\cdot x}{2}\cdot\frac{1}{780}=\frac{(x-1)\cdot x}{1560}. \end{equation}

Следовательно, вычислить число белых шаров в урне можно из уравнения:

    \[\frac{(x-1)\cdot x}{1560}=\frac{7}{60},\]

или

    \[(x-1)\cdot x=182.\]

Решая последнее уравнение, являющееся квадратным, получим два корня:

    \[x_1=-13, \, x_2=14.\]

Поскольку число белых шаров в урне не может быть отрицательным, мы приходим к выводу, что в урне находятся 14 шаров.

ОТВЕТ: в урне 14 белых шаров.

Задача 2.

На отрезок AB длиной \alpha наудачу нанесена точка C. Найти вероятность того, что меньший из отрезков AC и CB имеет длину, большую, чем \frac{\alpha}{4}.

РЕШЕНИЕ:

Разобъём отрезок AB на четыре равные части. Тогда условие задачи будет выполнено, если точка C попадёт на один из двух отрезков, которые не содержат точки A и B. Длина k двух таких отрезков равна:

    \[k= 2\cdot \frac{\alpha}{4}=\frac{\alpha}{2}.\]

По условию задачи длина l отрезка AB равна \alpha. Следовательно, вероятность P того, что точка C попадёт на один из двух отрезков нашего разбиения, не содержащих точки A и B, равна:

    \[P=\frac{k}{l}=\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{1}{\alpha}=\frac{1}{2}.\]

ОТВЕТ: \displaystyle\frac{1}{2}.

Задача 3. Рис. 1

Рис. 1

По выборке объёма n=100 построена гистограмма частот (рис. 1). Тогда значение a равно…

РЕШЕНИЕ:

Из гистограммы следует, что объект x_1 наблюдался n_1=7\cdot 2=14 раз, объект x_2n_2=a\cdot 2 раз, объект x_3n_3=21\cdot 2=42 раза, объект x_4n_4=13\cdot 2=26 раз. Следовательно, зная объём выборки, равный 100, получаем соотношение, из которого можно определить искомое значение a:

    \[\sum_{i=1}^4 n_i= 14+2a+42+26=100.\]

Корень последнего уравнения равен a=9.

ОТВЕТ: a=9.

Задача 4.

Из букв разрезной азбуки составлено слово. Потом буквы слова перемешивают и наугад берут одну за другой. Найти вероятность того, что будет составлено начальное слово, если это слово «олово».

РЕШЕНИЕ:

Вероятность P_1 того, что первой наугад выбранной буквой будет буква «о», учитывая, что букв «о» всего три, по определению вероятности равна:

    \[P_1=\frac{3}{5}.\]

Вероятность P_2 того, что второй наугад выбранной буквой окажется буква «л» (учитывая, что данная буква в наборе лишь одна, а всего букв осталось 4), равна:

    \[P_2=\frac{1}{4}.\]

Теперь в наборе незадействованных букв осталось всего 3 буквы, из них — 2 буквы «о». Следовательно, вероятность P_3 того, что третьей выбранной наугад буквой окажется буква «о», равна:

    \[P_3=\frac{2}{3}.\]

Далее имеем всего 2 незадействованные буквы — «о» и «в». Таким образом, вероятность P_4 того, что четвёртой выбранной наугад буквой окажется буква «в», равна:

    \[P_4=\frac{1}{2}.\]

Вероятность P_5 события, состоящего в том, что пятой наугад выбранной буквой из оставшегося одноэлементного набора, состоящего лишь из буквы «о», окажется буква «о», равна очевидно единице, то есть:

    \[P_5=\frac{1}{1}=1.\]

Таким образом, искомая вероятность P составления слова «олово» равна:

    \[P=\prod_{i=1}^5 P_i = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{20}.\]

ОТВЕТ: \displaystyle\frac{1}{20}.

Задача 5. Рис. 2

Рис. 2

Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке 2. Пенсионер начинает прогулку в точке A. Найдите вероятность того, что он придёт в точку G.

РЕШЕНИЕ:

Начиная прогулку из точки A, пенсионер имеет всего две возможности: пойти маршрутом по отрезку AB или AC. Из двух указанных отрезков всего один ведёт в сторону точки G. Таким образом, вероятность P_1 пойти по отрезку AB в начале путешествия равна:

    \[P_1=\frac{1}{2}.\]

Оказавшись в точке B, пенсионер имеет возможность пойти далее по четырём маршрутам: BD, BE, BF и BG. Из указанных четырёх маршрутов лишь один BG ведёт в требуемую точку G. Вероятность P_2 попасть в точку G из точки B равна:

    \[P_2=\frac{1}{4}.\]

Таким образом, по теореме об умножении вероятностей, вероятность P попасть из точки A в точку G для пенсионера, случайно выбирающего маршрут, равна:

    \[P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.\]

ОТВЕТ: \displaystyle\frac{1}{8}.

Задача 6.

На 7 карточках из 10 написана буква «м», на остальных — буква «а». Четыре карточки наугад выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «мама»?

РЕШЕНИЕ:

Вероятность P_1 события, состоящего в том, что из десяти карточек, среди которых имеется 7 букв «м», будет выбрана именно буква «м», равна:

    \[P_1=\frac{7}{10}.\]

Вероятность P_2 события, состящего в том, что из оставшегося набора из 9 букв, среди которых имеется 3 буквы «а», будет выбрана буква «а», равна:

    \[P_2=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\]

Вероятность P_3 события, состоящего в том, что из оставшегося набора из 8 букв, среди которых имеется 6 букв «м», будет выбрана буква «м», равна:

    \[P_3=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.\]

Вероятность P_4 события, состоящего в том, что из оставшегося набора из 7 букв, среди которых имеется 2 буквы «а», будет выбрана буква «а», равна:

    \[P_4=\frac{2}{7}.\]

По теореме умножения вероятностей вероятность P составить слово «мама» из данного набора букв равна:

    \[P=\prod_{i=1}^4 P_i=\frac{7}{10}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{7}=\frac{1}{20}.\]

ОТВЕТ: \displaystyle\frac{1}{20}.

Задача 7.

В классе 21 человек, среди них близнецы Даша и Маша. Класс случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Какова вероятность того, что Даша и Маша окажутся в разных группах?

РЕШЕНИЕ:

Пусть A — это событие, состоящее в том, что Даша и Маша попали в разные группы. Найдём вероятность противоположного события \overline{A}, состоящего в том, что девочки попали в одну группу. Тогда вероятность события A можно будет вычислить по формуле:

(3)   \begin{equation} P(A)=1-P(\overline{A}). \end{equation}

Итак, предположим, что девочки попали в одну группу. Тогда возможно наступление лишь одного из трёх событий:

Событие A_1, состоящее в том, что девочки попали в первую группу. Событие A_2, состоящее в том, что девочки попали во вторую группу. Событие A_3, состоящее в том, что девочки попали в третью группу.

Все три события являются несовместными, то есть наступление одного из событий исключает наступление других.

Найдём вероятность того, что Даша попала в первую группу. Так как в первой группе имеется всего 7 мест из 21, то вероятность благоприятствующего события B_1, состоящего в том, что Даша попала в первую группу, равна:

    \[P(B_1)=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}.\]

Вероятность события B_2, состоящего в том, что Маша также попадёт в первую группу, равна:

    \[P(B_2)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.\]

Таким образом, по теореме умножения вероятностей имеем:

    \[P(A_1)=P(B_1)\cdot P(B_2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{10}.\]

Аналогичные расcуждения для случаев попадания девочек одновременно во вторую группу и одновременно в третью группу приводят нас к тому, что:

    \[P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{10}.\]

Следовательно, в силу несовместности событий A_1, A_2 и A_3, имеем:

    \[P(\overline{A}) = P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=3\cdot \frac{1}{10}=\frac{3}{10}.\]

Из формулы (3) следует, что:

    \[P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.\]

ОТВЕТ: \displaystyle\frac{7}{10}.

Задача 8.

Часы с циферблатом сломались. Какова вероятность того, что часовая стрелка остановилась между отметками 2 часа и 5 часов?

РЕШЕНИЕ:

На циферблате часов имеется всего 12 секторов. Между отметками 2 часа и 5 часов расположено всего три сектора. Следовательно, вероятность благоприятствующего события A, состоящего в поломке часов в момент нахождения часовой стрелки в одном из указанных трёх секторов между отметками 2 и 5 часов, равна:

    \[P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.\]

ОТВЕТ: \displaystyle\frac{1}{4}.

Все приведённые выше решения задач можно скачать одним файлом в формате PDF:

Теория вероятностей. Практикум

Вернуться назад...

Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность Пенсионер гуляет наудачу схема дорожек начинает вероятность

Тоже читают:



Школа маникюра екатерины мирошниченко

Звукоизоляция канализационных труб своими руками

Поздравления с днём рождения зою

Шуточные поздравления женщине на 45 летний юбилей женщине

Британский кот схема вышивки крестом